函数的表示方法【函数的表示方法三种】 收藏 0

高中必修知识点（函数的表示法）

函数是表达变量直角关系的重要方式，通常函数的表示法有:解析法、列表法、图象法,各自的优缺点不同.在解析法中尤其要掌握用换元法和代入法求函数的解析式.在实际问题中,需要选择恰当的表示法来表示函数.会利用函数图象求函数的值域,并确定函数值的变化趋势.

一、函数的表示法

常用的函数的表示方法有三种:列表法、图象法和解析法,具体如下

二、函数的图象

1定义

一般地,将函数(),∈中的自变量和对应的函数值,分别看成平面直角坐标系中点的横坐标与纵坐标,则满足条件的点(,)组成的集合称为函数的图象,即{(,)(),∈}这就是说,如果是函数()的图象,则图象上任意一点的坐标(,)都满足函数关系();反之,满足函数关系()的点(,)都在函数图象上

2函数图象的作法

(1)函数图象的特征

函数图象既可以是连续的曲线,也可以是直线、折线、离散的点等

(2)描点法作函数图象的三个步骤(注意函数的定义域)

(3)利用常见函数图象作出所求函数的图象

已学过的常见函数图象有:

①常值函数的图象,如()1的图象为一条平行于轴的直线;

②一次函数的图象,如()31的图象是一条经过第一、二、四象限的直线;

③二次函数的图象,如()221的图象是一条开口向上的抛物线;

④对于反比例函数() (≠0,且为常数),

当0时,其图象是在第一、三象限内,以原点为对称中心的双曲线,

当0时,其图象是在第二、四象限内,以原点为对称中心的双曲线

知识点解析

1从理论上来说,要作出一个函数的图象,只需描出所有点即可但是,很多函数的图象都由无穷多个点组成,描出所有点并不现实因此,实际作图时,经常先描出函数图象上一些有代表性的点,然后根据有关性质作出函数图象,这称为描点作图法

2图象在轴上的投影所表示的区间为定义域,在轴上的投影所表示的区间为值域

如何检验一个图形是不是一个函数的图象?写出你的检验法则

检验法则:过图形上任意一点作与轴垂直的直线,若所有直线与图形都只有一个交点,则此图形是函数的图象,否则这个图形不是函数的图象

列表法是表示函数的重要方法,这如同我们在画函数图象时所列的表,它的优点是变量对应的函数值在表中可直接找到,不需要计算

求函数解析式的四种常用方法

1直接法(代入法):已知()的解析式,求(())的解析式,直接将()代入

2待定系数法:若已知函数的类型,可用待定系数法求解,即由函数类型设出函数解析式,再根据条件列方程(或方程组),通过解方程(或方程组)求出待定系数,进而求出函数解析式

3换元法(有时可用“配凑法”):已知函数(())的解析式求()的解析式可用换元法(或“配凑法”),即令(),反解出,然后代入(())中求出(),从而求出()

4消元法:在已知式子中,含有关于两个不同变量的函数,而这两个变量有着某种关系,这时就要依据两个变量的关系,建立一个新的关于两个变量的式子,由两个式子建立方程组,通过解方程组消去一个变量,得到目标变量的解析式

函数的图象及应用

1作函数图象最基本的方法是描点法:主要有三个步骤——列表、描点、连线作图象时一般先确定函数的定义域,再在定义域内化简函数解析式,最后列表画出图象

2函数的图象可能是平滑的曲线,也可能是一群孤立的点,画图时要注意特殊点如图象与坐标轴的交点、区间端点、二次函数的顶点等,还要分清这些特殊点是实心点还是空心点

如本题(1)中图象是由一些散点构成的,这里不能将其用平滑曲线连起来;(2)中描出两个端点及顶点,依据二次函数的图象特征作出函数图象,注意3不在定义域内,从而点(3,3)处用空心点

图象变换法

1平移变换

函数()的图象与()及()(≠0)的图象有怎样的关系呢?我们先来看一个例子

分别作出函数2,(1)2,21的图象,观察它们之间有怎样的关系

在同一平面直角坐标系中,它们的图象如图所示

观察图象可知,(1)2的图象可由函数2的图象向左平移1个单位长度得到;函数21的图象可由函数2的图象向下平移1个单位长度得到

由此得到如下规律:

(1)把函数()的图象沿轴向左(0)或向右(0)平移个单位长度,就得到函数()的图象;

(2)把函数()的图象沿轴向上(0)或向下(0)平移个单位长度,就得到函数()的图象

2对称变换

函数()的图象与(),()及()的图象又有怎样的关系

(1)函数()的图象与函数()的图象关于轴对称;

(2)函数()的图象与函数()的图象关于轴对称;

(3)函数()的图象与函数()的图象关于原点对称

3翻折变换

函数()的图象与函数()及()的图象又有怎样的关系呢?

(1)将函数()的图象在轴下方的部分沿轴翻折到轴上方,下方的部分不再保留,轴上及其上方的图象不变,即可得到函数()的图象;

(2)先作≥0时()的图象 然后将函数 ()(0)的图象沿轴翻折到轴左侧,函数()(≥0)的图象不变,即可得到函数()的图象

分段函数

1分段函数的定义

如果一个函数,在其定义域内,对于自变量的不同取值区间,有不同的对应关系,则称其为分段函数

2分段函数的图象

分段函数有几段,它的图象就由几条曲线组成在同一平面直角坐标系中,根据分段函数每段的定义区间和表达式依次画出图象,要注意确定每段图象的端点是空心点还是实心点,各段函数图象组合到一起就可得到整个分段函数的图象

知识点解析

1分段函数是一个函数,而不是几个函数

2求分段函数的函数值的关键是分段归类,即自变量的取值属于哪个区间,就只能用那个区间上的解析式来进行计算

3写分段函数的定义域时,区间端点应不重不漏分段函数的定义域是各段自变量取值区间的并集

4分段函数值域的求法是分别求出各段上的因变量的取值集合后取并集;分段函数的最大(小)值的求法是先求出每段函数的最大(小)值,然后比较各段的最大(小)值,其中最大(小)的为分段函数的最大(小)值

求分段函数的方法

1求分段函数的函数值的步骤

(1)先确定所求值对应的自变量属于哪一段区间

(2)再代入该段对应的解析式进行求值,直到求出值为止当出现(())的形式时,应从内到外依次求值

2已知函数值求自变量的值的步骤

(1)先确定所求自变量的值可能存在的区间及其对应的函数解析式

(2)再将函数值代入不同的解析式中

(3)通过解方程求出自变量的值

(4)检验所求的值是否在所讨论的区间内

分段函数知识点提升

1因为分段函数在定义域的不同区间内解析式不一样,所以它的图象也由几部分构成,有的可以是光滑的曲线段,有的也可以是一些孤立的点或几段线段,画图时要特别注意区间端点处对应点的实虚之分

2对含有绝对值的函数,要作出其图象,首先根据绝对值的意义去掉绝对值符号,将函数转化为分段函数来画图象

分段函数的意义是不同范围内的自变量与的对应关系不同,从而需分段来表达它解决实际问题时要结合实际意义写出分段函数的解析式,再根据需要选择合适的解析式解决问题

求实际问题的函数解析式,其关键是充分利用条件建立关于变量的等式,除此之外还需要考虑问题的实际意义,对于分段函数图象,作图时,要注意端点的取舍,遵循定义域优先的原则

必修一——函数的表示方法

一、函数的表达方式

函数之前已经讲了相关的知识点（如果有不懂的，可以看看之前发布的文章），那么函数的概念已经讲了，但是如何表达函数呢？读者们脑海中有想法吗？

函数的表达方式有三种：

解析法，图像法和列表法

一、解析法

1）解析法：

就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系。

例如：

初中学习的一次函数，比如y = 2x + 3，这种就是利用数学表达式表示x,y之间的对应关系。

2）图像法

就是用图像表示两个变量之间的对应关系。

例如：

还是刚刚的函数：y = 2x + 3，将函数用图像表示出来，这种方法就是图像法。

y = 2x+3

y = 2/x

3）列表法

同理可得，解析法是用数学表达式，图像法使用图像，所以说表格法就是利用表格

表示两个变量之间的对应关系。

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以上就是函数常见的三种表达方式，利用这三种函数，基本上可以表示高中阶段的所有的函数。

在高中阶段常常使用的就是解析法和图像法，解析法能表达自变量与应变量的关系。图像法能直观地表示函数图像的性质（后面作者会讲解）。

三、分段函数

有的函数没办法直接用一个表达式进行表达，需要分段进行表示，这就有了分段函数的诞生。

批注：

读者有什么不懂的可以留言，想要知道什么高中解题经验可以给作者留言啊！

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