正切函数的对称轴 正切函数的对称轴公式 收藏 0

第4章 4.5 三角函数的图象与性质

知识梳理

“五点法” 作简图：给出正弦函数（）和余弦函数（）图象的五个关键点123。

函数图象与性质：详细介绍正弦、余弦、正切函数的定义域、值域、周期性、奇偶性、递增区间、递减区间、对称中心、对称轴方程等性质（）456。

常用结论：阐述了正弦、余弦曲线的对称性与周期性，以及函数为偶函数和奇函数的充要条件789。

核心题型

三角函数的定义域和值域

例 1：求函数的定义域为，且；求函数的值域为161718。

跟踪训练 1：判断函数为偶函数，最大值为；求函数的定义域为192021。

三角函数的周期性、奇偶性、对称性

例 2：判断函数以为周期且在区间上单调递增；若（）为偶函数，则，其对称中心为222324。

跟踪训练 2：函数最小正周期为，最大值为；已知是奇函数且时取最小值，当取最小正数时，；函数最小正周期为，在上最小值为，图象关于点对称252627。

三角函数的单调性

例 3：求函数的单调递减区间为，在上的单调递减区间为和282930。

例 4：若函数在上单调递增，在上单调递减，则；已知，函数在上单调递减，则313233。

跟踪训练 3：函数的一个单调递增区间是；函数在区间上单调递增，则343536。

教材改编题

函数的最小正周期，最大值10。

函数的定义域是11。

函数的单调递减区间是12。

思考辨析

判断正切函数在定义域内不是增函数（）；（）最大值不一定为（）；是偶函数（）；若非零实数是函数的周期，则（是非零整数）也是函数的周期（）131415。

课时精练

基础保分练：包括求的单调递增区间（如）、函数的定义域、判断函数的性质（最小正周期为的非奇非偶函数）、分析函数在的图象、判断关于函数命题的真假、分析函数的性质（如偶函数，最大值为等）、写出周期为的偶函数（如）、根据等式在内实根情况求取值范围（）等373839。

技能提升练：涉及判断函数相关性质（如不是偶函数，是零点，在上单调递增，图象关于直线对称）、分析函数的性质（如最大值为，图象对称轴方程为，在上有个零点等）、求时的最大值为、已知，是偶函数时求等404142。

拓展冲刺练：分析函数在内有且仅有个零点时的相关结论（如在内有零点，在内有且仅有个零点，在上单调递增，取值范围是）；求函数的单调递增区间为，以及当函数在区间上恰有两个零点时的取值范围（或）和434445。

专题 三角函数（适用于高三）

三角函数在高考数学中频繁出现，涵盖了选择题、填空题和解答题。它不仅在高考中占据重要地位，分值也相对较高，通常可达20分左右。

三角函数在高考中的考查内容主要包括以下几个方面：

1. 基础知识：包括三角函数的定义、性质、图像、周期、单调性、对称性等。
2. 公式应用：需要考生熟练掌握并灵活运用同角三角函数关系、诱导公式、两角和与差公式、二倍角公式等。
3. 综合应用：三角函数常与其他知识融合，如结合向量考查三角函数的应用，或在解三角形问题中作为关键环节。这要求考生具备较高的综合解题能力。

高考三角函数试题的命题特点主要体现在以下几个方面：

1. 注重基础：高通常会考查三角函数的基本概念和性质，以及公式的应用。
2. 注重能力：高不仅考查考生对三角函数知识的掌握程度，还注重考查其阅读、理解、转化和想象能力，以及数据处理、运算求解等能力。
3. 综合性强：三角函数常与其他知识综合考查，形成综合性较强的问题。例如，三角函数与不等式、导数、积分等有机整合，形成综合性题目。

针对高考三角函数的考查特点，考生可以从以下几个方面进行备考：

1. 巩固基础：深刻理解角的概念推广、弧度制以及三角函数在单位圆中的定义，这是构建三角函数知识大厦的基石。
2. 熟练公式：熟练掌握并灵活运用各类三角函数公式，包括同角三角函数关系、诱导公式、两角和与差公式、二倍角公式等。
3. 掌握图像：精准把握正弦、余弦、正切函数的图像特征，包括周期性、单调性、最值、对称轴和对称中心等。
4. 综合训练：加强三角函数与其他知识的综合训练，提高综合解题能力。例如，结合向量、解三角形等知识进行综合练习。
5. 定期复习：制作思维导图或公式卡片，定期复习三角函数知识点，同时推导公式间的联系，加深记忆。

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