高手必备！六大母函数之y＝lnx/x
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相信大家在高中模拟考试中经常会遇见函数y＝lnx/x，高三一年下来，同学们都快被它折磨疯了。究其原因，大多数人对它不够重视，并且对它的图像、性质、考法不够熟悉。撰写此图文，旨在帮助高三学子彻底掌握该函数，考试从此不再泪两行！
研究一个未知的函数，自然要研究此函数的单调性、增减性、函数图像、特殊点、性质等等，为了方便，汇总如下:
函数性质如图
研究完函数的各种性质，自然而然要实际应用，下面以2021年甲卷压轴导数大题为例来说明:首先利用指数对数的运算法则，可以将曲线与直线有且仅有两个交点等价转化为方程有两个不同的实数根，即曲线与直线有两个交点，利用导函数研究的单调性，并结合的正负，零点和极限值分析的图象，进而得到，发现这正好是，然后根据的图象和单调性得到的取值范围.
21年压轴导数题
没想到吧，高考压轴题也源自平常练习的积累！本文到此结束，感谢您的浏览，如有错误欢迎指出，谢谢！
微积分基础：导数（二）
（1）初等函数的导数
- 常数函数：
- 幂函数：
- 指数函数：
- 对数函数：
- 三角函数：
例：定义在ℝ上的函数：
求导的具体步骤：
于是得到：。
（2）导数的四则运算
- 加法规则：
- 乘法规则：
- 除法规则：
- 链式法则（复合函数求导）：
导数的导数称为高阶导数。例如：
- 一阶导数：
- 二阶导数：
- n 阶导数：
高阶导数在物理学中常用于描述加速度、加加速度等。
- 求切线方程： 函数 f(x) 在点 x = a 处的切线方程为：
- 判断函数的单调性：
如果 f\'(x) > 0 ，则 f(x) 单调递增；
如果 f\'(x) < 0 ，则 f(x) 单调递减。
- 求极值：
如果 f\'(a) = 0 且 f\’\'(a) > 0 ，则 f(x) 在 x = a 处有极小值；
如果 f\'(a) = 0 且 f\’\'(a) < 0 ，则 f(x) 在 x = a 处有极大值。
- 优化问题： 导数可以用于求解最大值和最小值问题，例如在经济学中用于优化利润或成本。
- 求函数的导数：
- 求函数的导数：
指数函数，对数函数，再次理解。
指数函数图像
1.特殊情况：当时，（恒等于1）。
2.函数和关于 Y 轴对称。因为。
指数函数和对数函数互为反函数，关于直线对称。
因为指数函数曲线上的任意一点满足
满足对数函数曲线上的点
对数函数上的点和指数函数上的点，之间的中点坐标为
中点坐标的 x 值等于 y 值，所以关于直线对称。
以自然常数为底的指数函数，具备一个很重要的性质：
1.指数函数求导，，导数仍为函数本身。
2.对数函数 求导,即，
，指数函数导数仍为函数本身。
1.求指数函数 的导数。
在上一篇文章中分析过，不同底数的指数函数，实际上是 X 轴的不同的缩放。可以预测，导数为再乘以一个缩放系数。下面进行推导：
，换底把成。
，这里需要用到复合函数的求导方法，使。
，其中,
（1式）
2.同理求指数函数的导数：
由于指数函数和对数函数互为反函数。把（1式）中的对换即可：
，其中
（2式）
已知复合函数，求导数。
，分子分母同时乘以
因为时，，所以
特别需要注意的是，绝对不能理解为两个数的相除，这仅仅是一个数学符号，用于表示导数的意思，它是一个整体符号。
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